본서는 금융공학 시리즈의 두 번째 책이다. 본서의 목적은 금융공학의 핵심인 Black-Scholes식을 유도하는 다양한 과정을 통해서 금융공학을 공부하는 데 필요한 확률해석을 설명하는 것이다. 금융공학에서 Black-Scholes식이 차지하는 비중은 매우 크다. 본저자는 Black-Scholes식 그 자체를 실무에 직접 적용하는 것에 대해 상당히 회의적이다. 그러나 어느 누구도 Black-Scholes식을 모르고 금융공학을 공부할 수 있다고 생각하지는 않을 것이다. 금융공학을 공부하는 시발점은 Black-Scholes식을 잘 이해하는 것이다. 오늘날 금융공학을 공부하는 사람들은 다양한 학문배경을 가지고 있기에, 금융공학에서는 여러 학문의 다양한 기법들이 사용되고 있다. 이를 고려해서, 본서의 제1장에서는 먼저 Black-Scholes식을 유도하는 21가지 방법들을 간단히 소개하였다. 그리고 나머지 장들에서는 이 방법들의 배경이 되는 재무학적, 경제학적, 그리고 수리적 이론을 자세히 설명한다. 본서에 수록된 MATLAB프로그램들과 그림들을 그리는 프로그램들은 서울대학교 출판문화원의 웹사이트인 www.snupress.com의 IT-IM&F12에 실려 있다.

제1장 Black-Scholes식을 유도하는 21가지 방법
1.1 Black-Scholes식 … 1
1.1.1 Black-Scholes환경 / 1
1.1.2 자기금융조건과 무재정조건 / 3
1.1.3 Black-Scholes식의 해석 / 4
1.1.4 Ito-Doeblin보조정리 / 8
1.2 이항나무모형과 옵션가치평가 … 9
1.2.1 이항나무모형 / 10
1.2.2 무재정이론 / 11
1.2.3 위험중립가치평가식 / 14
1.2.4 모수설정 / 16
1.2.5 연속시간형 가치평가식 / 19
1.2.6 배당이 있는 주식의 주가옵션 / 23
1.2.7 통화옵션 / 27
1.2.8 선물옵션 / 28
1.3. Black-Scholes식의 다양한 유도 … 33
1.3.1 편미분방정식 I / 33
1.3.2 편미분방정식 II / 36
1.3.3 위험의 시장가격 / 38
1.3.4 위험중립가치평가 / 39
1.3.5 Girsanov정리와 정적분 / 48
1.3.6 기준재 / 52
1.3.7 제2의 금융파생상품 / 56
1.3.8 Feynman-Kac정리 / 58
1.3.9 Kolmogorov후향미분방정식 / 60
1.3.10 Fokker-Planck-Kolmogorov방정식 / 62
1.3.11 특성함수 / 65
1.3.12 Plancherel-Parseval등식 / 67
1.3.13 최대엔트로피 / 68
1.3.14 Kullback-Leibler정보량 / 70
1.3.15 효용함수 / 73
1.3.16 다변량Girsanov정리 / 81
1.3.17 CAPM / 88
1.3.18 Hamilton-Jacobi-Bellman방정식 / 90
1.3.19 국소시간 / 95
1.3.20 보험계리학적 유도 / 97
1.3.21 비표준적해석 / 98
1.4 Black swan bites Black-Scholes … 101
￭참고문헌 … 107

제2장 Brown운동 111
2.1 확률보행 … 111
2.1.1 단순확률보행 / 111
2.1.2 축척대칭확률보행 / 113
2.1.3 이항분포와 대수정규분포 / 120
2.2 다변량정규분포 … 124
2.3 Brown운동의 정의 … 127
2.4 Brown운동의 표본경로 … 133
2.4.1 자기유사성 / 134
2.4.2 미분불가능성 / 135
2.4.3 비유계변분성 / 137
2.5 Brown운동의 Markov성과 마팅게일성 … 145
2.5.1 자연증대정보계 / 145
2.5.2 Brown운동의 Markov성 / 147
2.5.3 Brown운동의 마팅게일성 / 151
2.6 Brown운동에서 생성되는 확률과정 … 155
2.6.1 추세Brown운동 / 155
2.6.2 기하Brown운동 / 157
2.6.3 Brown다리 / 163
2.6.4 다변량Brown운동 / 169
2.7 정지시점과 반사원리 … 170
2.7.1 정지시점 / 170
2.7.2 반사원리 / 173
2.8 Brown운동의 최대값과 최소값 … 179
2.8.1 표준Brown운동의 최대값과 최소값 / 179
2.8.2 Markov연쇄와 확률밀도함수 / 186
2.8.3 추세Brown운동의 최대값과 최소값 / 191
2.9 Brown운동의 존재성 … 198
￭참고문헌 … 201

제3장 Ito적분과 확률미분방정식 203
3.1 Ito적분의 정의 … 204
3.1.1 Ito확산과정 / 204
3.1.2 Ito적분의 정의 / 208
3.2 Ito적분의 성질 … 219
3.3 Ito적분의 확장 … 225
3.3.1 증대정보계의 확장 / 226
3.3.2 기대값조건의 약화 / 228
3.3.3 확장된 Ito적분과정 / 229
3.4 Ito적분과 Stratonovich적분 … 230
3.5 Ito-Doeblin보조정리 … 234
3.5.1 단변량Ito-Doeblin보조정리 / 235
3.5.2 다변량Brown운동의 2차변분 / 255
3.5.3 다변량Ito-Doeblin보조정리 / 257
3.5.4 Ito-Doeblin보조정리의 유형 / 264
3.6 Black-Scholes식 … 285
3.6.1 자기금융조건과 재정 / 285
3.6.2 할인된 원자산과정 / 291
3.6.3 Black-Scholes방정식의 유도 I / 293
3.6.4 Black-Scholes방정식의 유도 II / 294
3.6.5 Black-Scholes식과 Black-Scholes방정식 / 297
3.6.6 Black-Scholes식과 무재정조건 / 302
3.6.7 풋콜패리티 / 305
3.7 그릭스 … 309
3.7.1 그릭스와 헤지 / 310
3.7.2 그릭스의 유도 / 318
3.8 Brown운동의 마팅게일특성 … 322
3.9 Wiener적분 … 334
3.10 Brown다리 … 342
3.10.1 Brown다리의 적률 / 342
3.10.2 Brown다리와 Wiener적분 / 343
3.10.3 Brown다리의 결합확률분포 / 350
3.11 국소시간 … 356
3.12 Black-Scholes방정식의 해 … 367
3.12.1 Black-Scholes방정식과 열전도방정식 / 367
3.12.2 Fourier변환에 의한 해 / 371
3.12.3 Black-Scholes식의 유도 / 373
3.12.4 변수분리법에 의한 해 / 375
3.12.5 Green함수에 의한 해 / 380
3.12.6 유사성축소에 의한 해 / 385
3.12.7 Taylor급수에 의한 해 / 387
￭참고문헌 … 389

제4장 위험중립가치평가식 391
4.1 요점추출법 … 391
4.2 단변량Girsanov정리 … 399
4.3 위험중립가치평가 … 406
4.3.1 위험중립확률측도 / 406
4.3.2 위험중립가치평가식 / 418
4.4 Black-Scholes식의 유도 … 423
4.4.1 기대값의 계산 / 423
4.4.2 Girsanov정리와 Black-Scholes식 / 429
4.5 마팅게일표현정리 … 433
4.5.1 표현정리 / 433
4.5.2 헤지와 마팅게일표현정리 / 449
4.6 자산가치평가의 근본적 정리 … 454
4.6.1 다변량Girsanov정리와 다변량마팅게일표현정리 / 455
4.6.2 순간상관계수 / 457
4.6.3 위험중립확률측도의 존재성 / 470
4.6.4 위험중립확률측도의 일의성 / 478
4.7 배당이 있는 주식 … 483
4.7.1 연속배당 / 483
4.7.2 상수계수의 연속배당모형 / 487
4.7.3 일괄배당 / 489
4.7.4 상수계수의 일괄배당모형 / 490
4.8 선도계약과 선물계약 … 492
4.8.1 선도계약 / 492
4.8.2 선물계약 / 494
4.8.3 선도선물스프레드 / 502
4.8.4 재고유지비용 / 503
4.9 Girsanov정리의 수리적 접근 … 508
4.10 SLSG전략 … 521
4.10.1 SLSG전략과 자기금융조건 / 521
4.10.2 SLSG전략과 Black-Scholes식 / 526
￭참고문헌 … 529

제5장 가치평가식들의 관계 531
5.1 헤지이론과 무재정이론 … 532
5.1.1 편미분방정식과 위험중립가치평가식 / 532
5.1.2 조건부기대값에서 편미분방정식으로 / 534
5.1.3 편미분방정식에서 조건부기대값으로 / 542
5.2 확률미분방정식 … 547
5.2.1 확률미분방정식의 예 / 547
5.2.2 Ito-Doeblin보조정리와 계수비교법 / 551
5.2.3 해의 존재성과 일의성 / 565
5.2.4 강해와 약해 / 573
5.3 Ito확산과정과 Markov성 … 577
5.3.1 시간동질적 Ito확산과정 / 577
5.3.2 Ito확산과정의 Markov성 / 580
5.3.3 Ito확산과정의 강Markov성 / 583
5.3.4 이동작용소 / 590
5.4 생성작용소와 특성작용소 … 592
5.4.1 편미분작용소 / 593
5.4.2 생성작용소 / 593
5.4.3 Dynkin식 / 599
5.4.4 특성작용소 / 603
5.5 마팅게일문제 … 609
5.6 Ito확산과정의 함수 … 612
5.7 Feynman-Kac정리 … 620
5.7.1 단변량Feynman-Kac정리 / 621
5.7.2 2변량 Feynman-Kac정리 / 628
5.7.3 Kolmogorov후향미분방정식 / 635
5.7.4 이자율모형과 Feynman-Kac정리 / 647
5.7.5 확률변동성모형과 Feynman-Kac정리 / 663
5.7.6 소멸율과 Feynman-Kac정리 / 673
￭참고문헌 … 676

찾아보기 … 679
Abstract … 691